Тема 7. Преобразование целых выражений
Теория / Практика
Формулы сокращенного умножения |
Примеры |
1. a2-b2 = (a-b)(a+b) |
9-x4 = 32-(x2)2 = (3-x2)(3+x2) (2n-5)(5+2n) = (2n)2-52 = 4n2-25 |
2. (a±b)2 = a2±2ab+b2 |
(4+3z)2 = 16+24z+9z2 25-10y+y2 = 52-2·5·y+y2 = (5-y)2 |
3. a3+b3 = (a±b)(a2±ab+b2) |
27-a6 = 33-(a2)3 = (3-a2)(9-3a2+a2) (4+x)(16-4x+x2) = 43+x3 = 64+x3 |
4. (a±b)3 = a3±3a2b+3ab2+b3 |
(2-n)3 = 8-12n+6n2-n3 343+21x10+147x5+x15 = (7+x5)3 |
Способы разложения на множители
1. Вынесение общего множителя за скобки: 2ab2 - 4a2c = 2a·(b2-2ac)
2. Способ группировки: 
3. Разложение квадратного 3-х члена на множители: ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где x1, x2 - корни уравнения ax2 + bx + c = 0.
Пример: 
. Так как 2x2 - x - 10 = 0; D = 81, 
, x2=-2.
4. Какое из следующих тождеств равно произведению a(a - 2)?
1) a(2 - a) 2) - a(2 + a) 3) -a(2 - a) 4) -a(a - 2)
Решение. Преобразуем данное выражение: a(a - 2) = a·a - a·2 = a2 - 2a.
Преобразуем выражения:
1) 
- не совпадает с исходным;
2) 
- не совпадает с исходным;
3) 
- совпадает с исходным;
4) 
- не совпадает с исходным;
Другие решения: Преобразуем выражения и сравним с исходным.
1) 
- не совпадает с исходным;
2) 
- не совпадает с исходным;
3) 
- совпадает с исходным;
4) 
- не совпадает с исходным. Ответ: 3.
5. Укажите выражение, тождественно равное дроби 
.
1) 
2) 
3) 
4) 
Решение. Будем преобразовывать выражения, приведенные в ответах, начиная с первого:
1) 
; 2) 
; 3) 
. Ответ: 3.
6. В какой многочлен можно преобразовать выражение (a - 3)2 - 2a(a - 3)?
1) -a2 - 12 2) -a2 + 6a - 9 3) -a2 + 3a + 9 4) 9 - a2
Решение. (a - 3)2 - 2a(a - 3) = a2 - 6a + 9 - 2a2 + 6a = 9 - a2. Ответ: 4.
Реши сам
1. (Демо 2010 задание 7) В какое из приведенных ниже выражений можно преобразовать произведение (x - 4)(x - 2)?
1) (x - 4)(2 - x) 2) -(x - 4)(2 - x) 3) (4 - x)(x - 2) 4) -(4 - x)(2 - x)
2 Какое из следующих выражений тождественно равно произведению (х - 8)(x- 3)?
1) (х - 8)(3 - х); 2) (8-х)(3-х); 3) (8 - х)(х - 3); 4) -(х - 8)(х - 3)
3. Преобразуйте в многочлен выражение (a - 1)3 + 2a(3a - 4). Ответ:______________
4. Какое из выражений нельзя преобразовать в произведение 
?
1) 
; 2) 
; 3) 
4) 
5. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
1) 
2) 
3) 
4) 
6. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
1) 
2) - 
3) 
4) 
7. Упростите выражение 
.
1) 
2) 
3) 
4) 
8. Упростите выражение 
.
1) 
2) 
3) 
4) 
9. В выражении 
вынесите за скобки множитель 
.
1) 
2) 
3) 
4) 
10. В выражении 
вынесите за скобки множитель – 3b
1) 
2) 
3) 
4) 
11. Найдите второй множитель в разложении на множители квадратного трехчлена: 
.
Ответ:______________
12. Найдите второй множитель в разложении на множители квадратного трехчлена: 
.
Ответ:______________
13. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?
1) 
3) 
2) 
4) 
14. Какое из следующих выражений тождественно равно произведению 
?
1) 
2) 
3) 
4) 
15. Какое из выражений нельзя преобразовать в произведение 
?
1) 
3) 
2) 
4) 