Тема 10. Решение системы двух уравнений с двумя переменными

Теория

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений.

Решением системы двух уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Системы уравнений с двумя переменными можно решать:
а) графическим способом;
б) способом подстановки;
в) способом сложения (вычитания).

Выбор способа решения зависит от уравнений, входящих в систему.

Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.

Способ подстановки «хорош» при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Полезно помнить алгоритм решения этим способом:
1. Из уравнения первой степени выражают одну переменную через другую.
2. Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени
3. Решают получившееся уравнение.
4. Находят соответствующие значения второй переменной.

Способом сложения лучше пользоваться в случае, когда оба уравнения системы есть уравнения второй степени.

Практика

1. Решим систему уравнений
             

Решение: Выразим из второго уравнения переменную x через y:    .

Подставим в первое уравнение вместо x выражение , получим уравнение с переменной y:

.

После упрощения получим равносильное уравнение

.

Решив его, найдем, что , . Подставив в формулу  , получим: .

Подставив в формулу ; , получим:

.

Итак система имеет два решения:

,  и , .

Ответ можно записать также в виде пар: , .

Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подстановки или способ сложения.

2. Решим систему уравнений

Решение: Т.К., выразим из второго уравнения переменную y через x:  .;

Подставим в первое уравнение вместо y выражение .

Получим уравнение относительно x:  . 

, .

По формуле  находим  y:  

, .

Значит, система имеет два решения:

, и , .

Ответ: , .

3. Вычислите координаты точки В.

Решение. Точка В является пересечением прямых  и . Решив систему , найдем, что ; .

Ответ: В(-3,4;0,4).

4. Решите систему уравнений .

Решение. Преобразуем второе уравнение системы  к виду . Подставим в него . Выполнив преобразования, получим систему:

.

Решив эту систему, получим: (-2;6), (3;-4).

Ответ: (-2;6), (3;-4). Возможна запись ответа в другом виде: , , , , или  и .

Другое возможное решение. Выразим из первого уравнения одну из переменных через другую, например, . Подставим  во второе уравнение системы, получим уравнение . После преобразований получим квадратное уравнение .

Найдем корни данного уравнения и соответствующие значения y, получим: (-2;6), (3;-4).

Реши сам

1. (Демо 2010 задание 10) Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением . Используя этот рисунок, для каждой системы уравнений укажите соответствующее ей утверждение.
А)                   1) Система имеет одно решение
Б)                   2) Система имеет два решения
В)                   3) Система не имеет решений

Ответ:

А	Б	В

 

2. Для каждой системы уравнения определите число ее решений (используйте графические соображения). В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.
А)             1) Нет решений
Б)             2) Одно решение
В)               3) Два решения

Ответ:

А	Б	В

 

3. Вычислите координаты точки В.

Ответ:______________

 

4. На рисунке изображен график функции . Вычислите абсциссу точки А.
Ответ:_________

 

5. На рисунке изображен график функции . Вычислите абсциссу точки А.
Ответ:_________

6. Решите систему уравнений:
Ответ:_________

7 -10. Решите способом подстановки систему уравнений:

7.            8.  

9.        10.

11. Решите систему уравнений:
1) (5;-3), (-5;3)            2) (-5;7), (3;-1)
3) (5;-3), (-3;5)            4) (-5;7), (5;-7)

12. Решите систему уравнений:
1) (6;2), (-6;-2)            2) (-2;-6), (6;2)
3) (6;-2), (2;-6)            4) (-6;-10), (2;-2)

13. Для каждой системы уравнений определите число ее решений (используйте графические соображения).

В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.
А)    Б)     В)
1) Два решения         2) Одно решение      3) Нет решений

Ответ:

А	Б	В

14. На рисунке изображен график функции у = 5х² + 14х - 3. Вычислите абсциссу точки А.

Ответ:______________

15. Решите систему уравнений: .

Ответ:___________