Тема 3. Сравнение чисел, изображенных точками на координатной прямой

Теория

Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения , где m – целое число, а n – натуральное. Таким образом, множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Примеры:

1. 3,010010001… (единицы разделяются последовательно одним, двумя, тремя и т.д. нулями);

-5,020022000222… (число нулей и число двоек каждый раз увеличивается на единицу).

2. Число π, выражающее отношение длины окружности к диаметру:  π = 3.1415926... .

3. Найдем, например, приближенное значение √2 с тремя знаками после запятой.
Так как 1² меньше чем 2, а 2² больше чем 2, то число √2 заключено между целыми числами 1 и 2 (см. рис. а). Значит, десятичная запись числа √2 начинается так:  √2 = 1,... .

Найдем теперь цифру десятых. Для этого последовательно будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3; …, пока не получим число, больше двух.

Имеем: 1,1² = 1,21; 1,2² = 1,44; 1,3² = 1,69; 1,4² = 1,96; 1,5² = 2,25.  Так как 1,4² меньше двух, а 1,5² больше 2, то число √2 больше 1,4, но меньше 1,5 (см. рис. б). Значит, √2 = 1,4... .  Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; …. Так как 1,41² = 1,9881, а 1,42² = 2,0164, то число √2 больше 1,41 и меньше 1,42 (см. рис. в). Значит, √2 = 1,41... .

Практика

1. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу √39. Какая это точка?

1) точка Q      2) точка M     3) точка N     4) точка Р

Решение. 6 = √36, 7 = √49, 8 = √64.

√36<√39<√49, следовательно, числу √39 соответствует одна из точек М или N.

Точка М ближе к числу √36, точка N ближе к √49.

Отметим середину отрезка: 6,5 = √42,25

√36<√39<√42,25, следовательно, числу √39 соответствует точка М.

Ответ: 2.

2. Укажите наибольшее из чисел 0,6; 0,63; ; .

1) 0,6              2) 0,63            3)               4)

Решение. Можно рассуждать так: 0,6<0,63; . Осталось сравнить 0,63 и :

>0,63. Ответ: 3.

3. Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию a>b?

1) b - a > 0             3) a - b > 3

2) b - a < -1            4) a - b > -2

Решение: Проанализируем каждое из неравенств, приведенных в ответах. 1) Из условия a>b следует, что b - a <0; ответ не подходит. 2) Из условия b - a <0 не следует, что b - a < -1; например, при a = 1,5 и b = 1 первое равенство верно, а второе нет. 3) Рассуждаем так же, как и в пункте 2; ответ не подходит. 4) Из условия a - b > 0 и 0 > -2, что a - b > -2; значит, при любых значениях а и b, удовлетворяющих условию a > b, будет выполняться условие a - b > -2.  Ответ: 4.

4. Каждое из чисел √15, √17, √38 соотнесите с соответствующей ему точкой на координатной прямой.

Решение. Определим, между какими двумя соседними целыми числами находится каждое из чисел √15, √17, √38.

3 < √15 < 4, значит, числу √15 соответствует точка А.

4 < √17 < 5, поэтому числу √17 соответствует точка В.

6 < √38 < 7, следовательно, числу √38 соответствует точка D.

Ответ: √15 → A, √17 → B, √38 → D.

Реши сам

1. (Демо 2010) Числа x и y отмечены точками на координатной прямой. Расположите в порядке возрастания числа ,  и 1.

1) , , 1                2) 1, ,                 3) , 1,                 4) ,,1

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу √68. Какая это точка?

1) Точка А      2) Точка В      3) Точка С      4) Точка D

3. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу √77. Какая это точка?

1) Точка А      2) Точка В      3) Точка С      4) Точка D

4. Одна из точек на координатной прямой соответствует числу √52. Какая это точка?

 

1) Точка К    2) Точка Е    3) Точка F    4) Точка P

5. Расположите в порядке возрастания числа 0,0157; 0,105; 0,07.
1) 0,07; 0,105; 0,0157;    2) 0,105; 0,07; 0,0157;
3) 0,0157; 0,105; 0,07;    4).0,0157; 0,07; 0,105.

6. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу √60. Какая это точка?

1) точка А      2) точка В      3) точка С      4) точка D

7. Расположите в порядке убывания числа 0,1327; 0,014; 0,13.
1) 0,1327; 0,014; 0,13            3) 0,1327; 0,13; 0,014
2) 0,014; 0,13; 0,1327            4) 0,13; 0,014; 0,1327

8. Расположите в порядке возрастания числа 0,0801; 0,08; 0,108.
1) 0,08; 0,0801; 0,108            3) 0,08; 0,108; 0,0801
2) 0,108; 0,0801; 0,08            4) 0,0801; 0,08; 0,108

9. На координатной прямой (см. рис) отмечены числа a и b. Какое из приведенных утверждений неверно?
1) a²b > 0                 2) a + b > 0              3) a - b > 0              4) b - a > 0

10. Найдите координату точки А.
Ответ: _________________

11. Для каждого из чисел
А) -3   Б) 3    В) 5
укажите соответствующую точку прямой.
Ответ:

12. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 2,3. Какая это точка?

Ответ: _________________

13. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу √14. Какая это точка?

Ответ: _________________

14. Какие из отмеченных точек находятся на расстоянии 3 от точек А?

Ответ: _________________

15. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу √114. Какая это точка?

1) точка А      2) точка В      3) точка С      4) точка D