Тема 11.Составление уравнения по условию текстовой задачи
Теория
Решение сложных задач целесообразно начать с повторения алгоритма решения системы уравнений с 2-мя неизвестными:
- Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задачи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных);
- Выразить через нее другие величины;
- Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависимость неизвестной величины от других величин;
- Решить уравнение (или систему уравнений);
- Сделать проверку при необходимости;
- Выбрать из решений (или систему уравнений) те которые подходят по смыслу задачи;
- Оформить ответ.
2. Задачи на движение по реке. При решении задач на движение по реке необходимо учесть, что
vпотеч = vсоб. + vт.р.,
vпротивотеч = vсоб. - vт.р. где:
vпотеч – скорость по течению реки;
vпротивотеч – скорость объекта при движении против течения реки;
vсоб. – собственная скорость движущегося объекта;
vт.р. – скорость течения реки.
Практика
1. Расстояние между двумя причалами по реке 14 км. На путь против течения реки лодка затратила на 1 ч больше, чем на обратный путь по течению. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.
1) 
2) 
3) 
4)
Решение. x (км/ч) — собственная скорость лодки, тогда 
(км/ч) — скорость по течению, 
(км/ч) — скорость против течения.
Расстояние между причалами 14 км, следовательно,
(ч) — время движения лодки по течению;
(ч) — время движения лодки против течения.
Время движения лодки против течения больше, чем по течению, на 1 час, поэтому составим уравнение: 
.
Ответ: 2.
2. Прочитайте задачу: «От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 5 ч. На мопеде он мог бы проехать это расстояние за 3 ч. Известно, что на мопеде он едет со скоростью на 8 км/ч больше, чем на велосипеде. Чему равно расстояние от турбазы до станции?»
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено расстояние (в км) от турбазы до станции.
1) 
3) 
2) 
4) 
Решение. Пусть х км — расстояние от турбазы до станции. Тогда 
км/ч — скорость, с которой турист едет на велосипеде; 
км/ч — скорость, с которой турист едет на мопеде. Известно, что скорость на мопеде на 8 км/ч больше скорости на велосипеде: запишем уравнение 
.
Уравнение может быть записано и в другом виде, например, 
, но его легко преобразовать к виду: 
.
Ответ: 3.
Реши сам
1. (Демо 2010 задание 11) Прочитайте задачу: «Фотография имеет форму прямоугольника со сторонами 10 см и 15 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг всей фотографии получилась белая окантовка одной и той же ширины. Площадь, которую занимает фотография с окантовкой, равна 500 см2. Какова ширина окантовки?».
Пусть ширина окантовки равна х см. Какое уравнение соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
2. Прочитайте задачу.
Расстояние между двумя пристанями 24 км. Лодка проплыла от одной пристани до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов.
Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.
1) 
2) 
3) 
3. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 20 см. Длины его смежных сторон относятся как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
3) 
2) 
4) 
4. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
5. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
6. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
7. Прочитайте задачу: «В трех группах детского сада 70 детей. В старшей группе в 3 раза меньше, чем в старшей, а в средней на 15 больше, чем в младшей. Сколько детей в старшей группе?»
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число детей в старшей группе?
1) 
2) 
3) 
4) 
8. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся как 2 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».
Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи?
1) 
2) 
3) 
4) 
9. Прочитайте задачу: «В первый день школьник прочитал 29 страниц, во второй – 34 страницы, и вместе это составило 0,3 числа страниц в книге. Сколько страниц в книге?»
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число страниц в книге?
1) 
2) 
3) 
4) 
10. В классе 25 учащихся. При посадке деревьев в школьном саду каждая девочка посадила по 2 дерева, а каждый мальчик – по 3 дерева. Всего было посажено 63 дерева, Сколько в классе девочек?
Пусть в классе х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. 
Б. 
В. 
Г. 
11. В спортивной секции занимается 26 детей. Каждая девочка имеет по 2 медали, а каждый мальчик – по 3 медали. Всего мальчики и девочки имеют 68 медалей. Сколько в секции занимается мальчиков?
Пусть в секции х мальчиков. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. 
Б. 
В. 
Г. 
12. В кружке занимается 20 детей. К празднику каждая девочка сделала по 4 сувенира, а каждый мальчик – по 3 сувенира. Всего было сделано 72 сувенира. Сколько в кружке занималось девочек?
Пусть в кружке х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?
А. 
Б. 
В. 
Г. 