Тема 1. Владение записью чисел в стандартном виде

Теория

В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается объем Земли – 1083000000000 км³, а малым – диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м.

В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде a·10ⁿ, где n – целое число. Например:

12500 = 0,125·10⁶;

0,0031 = 3,1·10^-3;

0,237 = 23,7·10^-2.

Стандартным видом числа a называют его запись в виде a·10ⁿ, где 1 ≤ a < 10 и n – целое число. Число n называется порядком числа а.

Практика

1. Представьте в стандартном виде число а = 4 350 000.

В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число а в 10⁶ раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 10⁶ раз. Отсюда:

a = 4,35·10⁶.

2. Представьте каждое из чисел 1083000000000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключенного между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10:

1083000000000 = 1,083·10¹²;

0,0000000003 = 3·10^-10.

Говорят, что мы записали числа 1083000000000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.

3. Население Франции составляет 5,9·10⁷ человек, а ее территория равна 5,4·10⁵ км². Какой из ответов характеризует среднее число жителей на 1 км²?

1) 9,2 чел            2) 92 чел         3) 11 чел            4) 110 чел

Решение.  человек. Ответ: 4.

4. Запишите 0,0032 в стандартном виде.

Решение. Чтобы представить 0,0032 в стандартном виде, нужно перенести запятую в числе 0,0032 на три знака вправо. Получим число от 1 до 10. Итак: 0,0032 = 3,2·10^-3. Ответ: 3,2·10^-3.

Перевод единиц измерения

5. Переведите 155,4 м: а) в километры; б) в сантиметры; в) в миллиметры.

Решение. А) Так как 1 км = 1000 м, то надо решить пропорцию:

, .

Ответ: 0,1554 км или 1,554·10^-1 км.

Б) Так как 1 м = 100 см, то 1,554 м = 155,4·100 см = 15540 см.

Ответ: 15540 см или 1,554·10⁴ см.

В) Зная, что в 1 метре 1000 миллиметров, найдем, что в 155,4 метрах 155400 миллиметров.

Ответ: 155400 мм или 1,554·10⁵ мм.

Реши сам

1. (Демо 2010 Задание 1) Площадь территории Испании составляет 506 тыс. км². Как эта величина записывается в стандартном виде? 1) 5,06·10² км² 2) 5,06·10³ км²  3) 5,06·10⁴ км²  4) 5,06·10⁵ км²

2. Площадь территории некоторой страны составляет 342 тыс км². Как эта величина записывается в стандартном виде?

3. Площадь территории некоторой страны составляет 2 млн. км². Как эта величина записывается в стандартном виде?

4. Общее количество биомассы Мирового океана оценивается в 35 миллиардов тонн. Как эта величина записывается в стандартном виде?

1) 35·10⁶ т   2) 35·10⁹ т   3) 3,5·10⁸ т  4) 3,5·10¹⁰ т

5. Найдите десятичную дробь, равную 1,65·10^-4.

1) 0,0165        2) 0,00165      3) 0,000165    4) 0,0000165

6. Площадь территории некоторой страны составляет 80 тыс. км² Как эта величина записывается в стандартном виде?

7. Площадь территории некоторой страны составляет 12,34 тыс. км². Как эта величина записывается в стандартном виде?

8. Найдите десятичную дробь, равную 1,27·10^-4.

1) 0,0127     2) 0,00127     3) 0,000127     4) 0,0000127

9. Найдите десятичную дробь, равную 1,18·10^-5.

1) 0,00000118       2) 0,0000118       3) 0,000118       4) 0,00118

10. Площадь территории некоторой страны составляет 0,03 млн. км². Как эта величина записывается в стандартном виде?

11. Численность населения Китая составляет 1,3·10⁹ человек, а Вьетнама - 8,5·10⁷ человек. Во сколько раз численность населения Китая больше численности населения Вьетнама?

1) примерно в 6,5 раза                     3) примерно в 15 раз

2) примерно в 150 раз                     4) примерно в 1,5 раза

12. Площадь территории России составляет 1,7·10⁷ км², а Норвегии - 3,2·10³ км². Во сколько раз территория России больше территории Норвегии?

1) примерно в 1,9 раза;   2) примерно в 5,3 раз   3) примерно в 53 раз   4) примерно в 530 раза

13. Общее количество биомассы Мирового океана оценивается в 35 миллиардов тонн. Как эта величина записывается в стандартном виде?

1) 35·10⁶ т   2) 35·10⁹ т   3) 3,5·10⁸ т  4) 3,5·10¹⁰ т

14. Площадь Кораллового моря 4,07·109 м², а площадь Адриатического моря 1,44·108 м². Во сколько раз площадь Кораллового моря больше площади Адриатического моря?

1) примерно в 3 раза;  2) примерно в 30 раз;  3) примерно в 0,3 раза;  4) примерно в 5,5 раза.

15. Представьте значение выражения (6·10^-3)² в виде десятичной дроби.